2024-10-14

仕事算別の方法もありました

前回、仕事算の練習問題をたくさん作るために
　 $\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}=\dfrac{1}{C}$ $( 0\lt A\lt B )$ ・・・①
となる自然数 $A,B,C$ を見つける方法について考察しました。別の方法があるようなのでそちらも検討します。
　①式の両辺に $ABC$ をかけると
　　 $BC+AC=AB$ ・・・②
　すべて右辺に移行して
　　 $0=AB-BC-AC$ ・・・③
　両辺にC^2を足す
　　 $C^2=AB-BC-AC+C^2$ ・・・④
　右辺を因数分解する
　　 $C^2=(A-C)(B-C)$ ・・・⑤
　「④とか⑤とかそんなん思いつくか」とツッコミを入れたくなるほどうまい式変形ですね。悔しいですが文句を言わずに先に進みます。
　
　さて、⑤式を満たす自然数A,B,Cを見つけましょう。これ意外と簡単です。左辺から考えます。

(1)　 $C=1$ の場合
　 $左辺=1$ より、 $A-C=1,B-C=1$ となります。しかしこれは、 $A\lt B$ に矛盾していますのでありえません。

(2)　 $C=2$ の場合
　 $左辺=4$ です。 $A\lt B$ より $A-C\lt B-C$ なので、 $A-C=1$ , $B-C=4$ と決まります。
　よって、 $A-2=1$ より $A=3$ 、　 $B-2=4$ より $B=6$
　したがって、 $A=3, B=6, C=2$ を見つけることができました。
　 $C=3$ の場合も同様に求められます。

(3) $C=4$ の場合
　 $左辺=16$ です。今回は、 $A-C$ と $B-C$ の組み合わせが複数あります。
　　 $(A-C, B-C) = (1, 16) , (2, 8 )$
　それぞれについて解けば、 $(A, B, C) = (5, 20, 4), (6, 12, 4 )$ となります。

　前回の方法よりもこちらの方が簡単ですね。あの苦労は何だったのだろう？
　まあ、自分が好きでやってるのだからいいんですけどね。
　 $C, C^2, A-C, B-C, A, B, k, a, b$ $(kはA,B$ の最大公約数 $A=ka, B=kb)$ を表にまとめてみました。

$C$	$C^2$	$A-C$	$B-C$	$A$	$B$	$k$	$a$	$b$	$\dfrac{k}{(a+b)}$
2	4	1	4	3	6	3	1	2	1
3	9	1	9	4	12	4	1	3	1
4	16	1	16	5	20	5	1	4	1
4	16	2	8	6	12	6	1	2	2
5	25	1	25	6	30	6	1	5	1
6	36	1	36	7	42	7	1	6	1
6	36	2	18	8	24	8	1	3	2
6	36	3	12	9	18	9	1	2	3
6	36	4	9	10	15	5	2	3	1
7	49	1	49	8	56	8	1	7	1
8	64	1	64	9	72	9	1	8	1
8	64	2	32	10	40	10	1	4	2
8	64	4	16	12	24	12	1	2	4
9	81	1	81	10	90	10	1	9	1
9	81	3	27	12	36	12	1	3	3
10	100	1	100	11	110	11	1	10	1
10	100	2	50	12	60	12	1	5	2
10	100	4	25	14	35	7	2	5	1
10	100	5	20	15	30	15	1	2	5
11	121	1	121	12	132	12	1	11	1
12	144	1	144	13	156	13	1	12	1
12	144	2	72	14	84	14	1	6	2
12	144	3	48	15	60	15	1	4	3
12	144	4	36	16	48	16	1	3	4
12	144	6	24	18	36	18	1	2	6
12	144	8	18	20	30	10	2	3	2
12	144	9	16	21	28	7	3	4	1
13	169	1	169	14	182	14	1	13	1

写真は本文とは関係ありません。今回も、笠原邦彦氏著：「笠原邦彦のハッピーおりがみ」（みずうみ書房）に掲載されている「ゴリラ」です。

2024-09-23

仕事算たくさん問題作りたい

　仕事算という計算をご存知でしょうか。公務員試験などで出題されることが多いようですが、次のような問題です。
　「ある樽に水を貯めるとき、 $A,B$ ２つの蛇口が利用できます。 $A$ の蛇口だけを使うと10分で満杯にでき、 $B$ の蛇口だけを使うと15分で満杯にすることができます。 $A,B$ ２つの蛇口を同時に使うと何分で満杯になりますか。」
　ひとつの解法を提示します。 $A$ の蛇口では、1分間に樽の $\dfrac{1}{10}$ まで貯められる。 $B$ の蛇口では1分間に $\dfrac{1}{15}$ まで貯められる。ならば、 $A$ と $B$ の2つの蛇口を同時に使えば1分間で $\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}$ だけ貯められる。これを計算すると $\dfrac{1}{6}$ 。ということは、 $A,B$ 両方の蛇口を同時に使えば1分間で樽の $\dfrac{1}{6}$ まで貯めることができる、つまり6分間で満杯にすることができるというわけです。
　さて、この仕事算の練習問題をたくさん作ろうと思いました。答えを整数にするために、　
　 $\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}=\dfrac{1}{C}$ ・・・①
となる３つの正の整数 $A,B,C (0 \lt A \lt B)$ を探し始めました。ところが、整数 $A$ と $B$ の組合せをやみくもに試しても $C$ が整数になりません。このような $A$ と $B$ の組合せには何か法則があるのだろうと考えました。
①式を満たす３つの正の整数 $A,B,C (0 \lt A \lt B)$ の法則を見つけることが、このお話のねらいです。

(1)　①式の変形
　 $\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}=\dfrac{ (A+B) }{(A･B) } = \dfrac{1}{C}$ ですから、 $C = \dfrac{A･B}{(A+B)}$

この $C$ が整数になるためには、分子が分母で割り切れる必要があります。そのような $A,B,C$ を探すことにします。
(2)　 $A$ と $B$ が互いに素であると仮定する。
　 $C$ が整数ですから、次の２つの場合が考えられます。
$A+B$ が $A$ または $B$ の約数である・・・(2-1)
$A+B$ が合成数となり、そのすべての因数が $A$ または $B$ の因数である。・・・(2-2)　
　それぞれについて考えます。
　 $0\lt A\lt B$ より、明らかに $A\lt B\lt A+B$ ですから $A+B$ が $A$ または $B$ の約数になることはできません。したがって、 (2-1)は否定されます。
　 $A+B$ が $t$ という因数を持つとします。 $A$ と $B$ は互いに素なので、 $A$ と $B$ は
　　 $A=tn+s ,$ $B=tm+(t-s)$ $(0\lt s\lt t)$
と表され、 $t$ が $A$ または $B$ の因数であることはない。つまり、 $A＋B$ が合成数となりそのすべての因数が $A$ または $B$ の因数であることはなく、(2-2)も否定されます。
したがって
① $A$ と $B$ は互いに素ではない。・・・②
ということが分かりました。
(3)　 $A$ , $B$ の共通因数を $k$ とする。
　 $A＝ak, B=bk$ （ $a$ と $b$ は互いに素とする）を①式に代入します。
　 $\dfrac{1}{ak} + \dfrac{1}{bk} = \dfrac{(a+b)}{abk} = \dfrac{1}{C}$ , よって $C=\dfrac{abk}{(a+b)}$ 　
　 $a+b$ は $a$ の約数でも $b$ の約数でもないので、 $C$ が整数であるためには、 $a+b$ は $k$ の約数である必要があります。
　これで、①式を満たす整数、 $Ａ，Ｂ，Ｃ$ を作ることができます。
(4)　具体例①
　 $a=1, b=2$ 　とする。 $k$ は $a+b=3$ の倍数なので、 $k=3$ とする。
　 $A=ak=1×3=3,$ $B=bk=2×3=6,$

　 $C=\dfrac{abk}{(a+b)}=\dfrac{1×2×3}{(1+2)}=2$
　たしかに、 $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ となります。

　 $a , b$ を自由に選べば、①式を満たす $Ａ, B, C$ は無限に作ることができます。

写真は本文とは関係ありません。笠原邦彦氏著：「笠原邦彦のハッピーおりがみ」（みずうみ書房）に掲載されている「ゴリラ」を折ってみました。

2024-03-06

ないのなら作るよハートのタングラム

　JR広島駅に、ハート型のタングラムのレリーフ【図1】があります。

基本のハート型を10個に分割したピースを並び替えて、様々な形を作り出した作品です。これは、デザイナーの福田繁雄さんの作品だそうです。

　タングラムとは、正方形を分割してできた7つの図形を組み合わせることで、示されたシルエットを作るパズルです。一般的には【図2 左】がよく知られていますが、そのほかにもストマキオン、デビルパズル（基本形が長方形）などがあります。清少納言知恵の板【図2 右】は江戸時代に考案されたものだそうです。

　JR広島駅では、ハートのタングラムを並び替えて作られた、57パターンものハトが、駅前の地下道を飛び回っています。【図3】

私はこれをパズルにして遊びたいと思い、市販のものを探したのですが、見つけることができませんでした。それなら、自分で作るしかないなと思ったのが10年ほど前です。なかなか進まなかったのですが、最近やっとできあがったので、その紆余曲折を書き記そうと思います。

　まず、デザインです。シンプルな形ですので、定規とコンパスでも作成可能ですが、何かソフトウェアを使いたいと思いまして、数学の関数ソフトを用いてすべての曲線と直線を式で書いてみることにしました。

例えば【図4】

の赤色の曲線は、 $x=\cos\theta+1,\ y=\sin\theta+2\ \left(0\leq\theta\leq\pi\right)$ といった具合です。

　この形の通り、適当な大きさの板を切ればできあがりなのですが、電気ノコギリなどを使ったとしても、正確にこれらの形を切り出すことなど私には難しい。だいいち電気ノコギリを持っていない。何かいい方法はないかと思案していたところ、近所のGoodayに、レーザーカッターでオリジナルの作品を作ることができるコーナーを見つけました。担当のお姉さんに相談してみると、作品のデザインをデータで持ってきたら適当な板をカットしてくれるとのことです。（少し値は張るのですが）。svg形式のファイルがよいとのことでしたが、Adobe Illustratorは持っていません。フリーソフトのInkscapeで作れそうだとわかり、早速ダウンロードし、見よう見まねで、svgファイルを作ってみました。Goodayのレーザーカッターは素晴らしいです！思った通りの10ピースを切り出すことができました。【図5】

パズルの素材はGoodayの担当の方に勧めてもらった赤松です。カットしてもらった後で分かったことですが、高熱でカットするらしく、赤松が松脂でべたべたになってしまいました。パズル中に手が汚れるのも嫌なので、ウェットティッシュで丁寧に拭き上げました。

　さて、ハートのタングラム10ピースはできあがりましたが、パズルとして遊ぶためには、問題を作成する必要があります。JR広島駅にあるレリーフはいわば<解答>なのです。<問題>は影絵のようなもので、それぞれのピースが、完成図のどの部分に使われているのかがわかってはいけません。つまり、【図6】の左が<問題>で右が<解答>です。

　問題作成にはPowerPointの図形描画機能を利用しました。まず、10個のピースをバラバラに作ります。これらをひっくり返したり回転させたりして並べればよいわけです。ハトをひとつ作ってみて、この作業は結構面倒くさいということがわかりました。【図１】のレリーフにはハトが25匹います。少なくともこれくらいは、つまり25問くらいの問題量がないとパズルとして格好がつきません。あまりの作業量の多さに、モチベーションが下がっておりました。

　そんなときに、久しぶりに広島在住の小学4年生M君に出会いました。彼は算数大好き少年で、T字型のパズルを1日もかからずに全問解いてしまうほどです。M君ならこのパズルを楽しんでくれるかもしれないと、私のモチベーションも俄然上がってきました。

　10個の図形ピースを回したりひっくり返したりして、やっと25種類のハトを作りました。パワポのスライドをpngファイルに書き出します。慎重に作業を進めたつもりですが、図形と図形の間に少しの隙間ができているものがありました。これでは<問題>ではなく<解答>です。もっと質のよい<問題>にするために、お絵描きソフト(Windowsのペイント)を使って、隙間を埋めることにしました。地道な作業でしたが、M君の喜んでくれる（であろう）顔を思い浮かべながら頑張りました。

　最後は、これらのpngファイルをWord文書に挿入して、適当な大きさに縮小し、並べれば出来上がりです。【図7】

　M君は喜んでくれたようですが、どこまで解けたかはまだわかりません。コツをつかめば、彼なら全部解いてくれると思います。

　楽しかった！
デザイナーの福田さん、グッデイのお姉さん、そして広島のM君に感謝です。

2024-02-04

一枚の紙から立体化する薔薇

折り紙でバラのつぼみを折りました。

今回も川崎敏和著「究極の夢折り紙」にある作品です。折るたびに感動するのが、「ねじり折り」された紙が立体化して、バラの花びらができるところです。よくわからないまま折り図の指示通りに進んでいるうちに、いつの間にかバラの花びらが出現します。この本の副題の通り、「魔法のように立体化する」のです。すごいです。少し興奮して指先が温かくなってきました。（難しい折り紙に挑戦していると体がポカポカしてくるのは私だけでしょうか。）

次は、世界的にも有名な「カワサキローズ」に挑戦します。いやその前に、この本にある「1分ローズ」かな。本当にマスターすれば1分で折れるのでしょうか。そしたらかっこいいだろうなあ。

2024-01-21

「まっとき」と言われてしっこする？しない？

結婚当初、私たちは大阪に住んでいました。生まれも育ちも筑後地方の妻は、慣れない土地で戸惑うことも多かったようです。妻が近所の保育園でパートをしていた時の話です。

一歳児を担当していた妻は、その日トイレ指導をしていました。おしっこしたい子をトイレに連れて行って、おもらしせずに便器で用を足すお手伝いをしていたのです。一人の男の子を便器の前まで連れてきて、さあこれからという時に別の子がおもらしをしてしまいました。そこで妻は便器の前の子に、

「ここでまっとき」

と言いました。ご存知でしょうか。筑後地方では今でも古い言葉が残っていて、おしっこすることを「まる」と言います。特に幼児に対して「おしっこしなさい」というときに「まり」とか「まらんね」という風に使われます。あひるの「おまる」の語源ですね。関西弁習いたての妻は、上手に関西弁で伝えたつもりだったのです。でも大阪の一歳児が「まっとき」と言われたら・・・そう、待っていました。そして、

「せんせーまだあ」

と大声で叫んでいたそうです。かわいそうに。ここで一句。

「まっとき」と言われてしっこする？しない？

この句を毎日新聞の万能川柳コーナーに投稿したのですが、採用されなかったようです。九州弁と関西弁のニュアンスの微妙な違いが分かっていただければ、と思ったのですが全国紙に方言ネタはだめですかね。

写真は本文とは関係ありません。折り紙作家フチモトムネジさんのYouTubeチャンネル「Muneji Fuchimoto ORIGAMI CHANNEL」で紹介されていた「コールダック」を折ってみました。

2024-01-14

「花のある多面体」完成披露

　花のある多面体は、川崎敏和著「究極の夢折り紙」に掲載されている作品です。同型の折紙パーツを組み合わせて作るユニット折り紙の一種です。

　きれいですよね。川崎先生、素敵な作品を紹介してくださってありがとうございます。

　本には難易度が5段階中3と書かれています。確かに一つ一つの工程はそれほど難しくないのですが、「星形うずパーツ」と呼ばれているパーツをひとつ作るのに40もの工程があり、そのパーツを30個作る必要があります。

　途中、何度も挫折しそうになりました。嫌になって何か月もほったらかしにしていた時期もありましたが、正月前後の休みで、とうとう完成にこぎつけました。

　紙は、トーヨーのタント紙を使いました。普通の折紙より少し厚手なので、渦の部分をきれいに仕上げたり、うずパーツを5つ組み合わせたりするところで苦労しました。しかし苦労のかいあって、丈夫な作品ができあがり満足しています。

　30個のパーツのとがったところを線でつなぐとある多面体ができあがります。正三角形20個と正五角形を12個組み合わせた多面体。この多面体に名前はあるのだろうかと調べたところ「二十・十二面体」という準正多面体の一つだそうです。多面体の世界も奥が深く楽しそうです。今度じっくり調べてみようと思います。

折々のしらべ

折り紙，数学，川柳，etc

仕事算別の方法もありました

仕事算たくさん問題作りたい

ないのなら作るよハートのタングラム

一枚の紙から立体化する薔薇

「まっとき」と言われてしっこする？しない？

「花のある多面体」完成披露